Googleのヘルプページに詳しいことは書いてありますが、大学用のアドレスでログインしているときに大学側が追跡できるのはGoogle DriveやclassroomなどのG Suiteに含まれるサービスの一部履歴だけで、検索履歴やブラウザの履歴は大学側から見ることができないようになっています。大学側の裁量によってはG Suiteに含まれるサービスの履歴も追跡しないことになっている可能性もあります。

おー、そうなんですね、逆にドライブは見られる可能性があるのか…